ウラタクブログ

世界一周して東京のスタートアップで働く、滋賀県が大好きな25歳独身男のブログ。

【読書メモ】数学の本を読んで、おもしろかったので紹介します。

読書メモ。

こんにちは。数学の本を読んでみたら面白かったので紹介します。

不可能を証明する

読んだ本はコチラ。

アキレスと亀のパラドックス

有名なゼノンのパラドックスと呼ばれる「アキレスと亀」の話

足の速い人間アキレスと、足の遅い亀が居る。アキレスは秒速2mで走り、亀は秒速1mで走ると仮定しよう。同じ場所から両者が同時にスタートすれば、両者の差はただ開いていくだけだ。そこで亀のスタート地点をアキレスより100m前にして、同時にスタートすることにしよう。

100m離れてアキレスと亀は同時にスタートする。アキレスが100m先の亀のスタート地点に着いた時、亀はそこから何mか先に居る。そこを地点1としよう。アキレスが走り続けて地点1に着いた時、亀は地点1の何mか先に居る。そこを地点2としよう。再びアキレスが走り続けて地点2に着いた時、再び亀は地点2の何mか先に居る。この作業を何度繰り返しても、亀は必ずアキレスの前に居ることになり、だからアキレスは亀に追い着くことは出来ない。

√2は分数表すとどうなるのか?

√2といえば、1辺が1の正方形の対角線の長さである。√2=1.41421356…と続くが(ヒトヨヒトヨニヒトミゴロ・・・という風に覚えたはず)、この数は分数でどう表すのか? 1<√2<1.5なので、1<√2<3/2。1と3/2の間には無限に分数が存在するので、√2は分数で表せるような気もする。

しかし、√2は分数で表せないことが証明できる。その時に使うのが、背理法という考え方。高校で習った内容ですね。

全ての角は3等分できるのか?

どんな角でも3等分線は作図できるのか?という問い。角の2等分線はコンパスと定規を使って作図できることは中学校で習ったけど、3等分はどうやって作図するのか?

そもそも作図ってなに?

作図可能とはどういう状態?

作図不可能とはどういう状態?

という超概念的なことをひとつひとつ整理して考えていくところが数学の面白さ。ちなみに角の3等分線が作図不可能なことは証明されています。角の3等分線というのは、確実に存在するものであるのにもかかわらず、作図できない、というのは不思議ですよね。

平行線は本当に一本しかないのか?

ある直線lがあったとき、ある点Aを通りlに平行な直線はただひとつしかないということはよく知られているし、感覚的にも当たり前のことのように見える。しかし本当に一本しかないのか?と聞かれるとちゃんと説明できる人はどれくらいいるのか? 一見当たり前に思えることでも、ひとつひとつ論理を組み立てて証明していくのが数学の面白いところ。

球面はドーナツ型に変形できるのか?

ボールをなんとか変形してドーナツ型を作ることはできるだろうか?これがトポロジーという考え方。みなさんはできると思いますか?

正しいことはいつでも証明できるのか?

数学の世界では何かの主張があるとき、それを数学的に証明をしなければそれは正しいとはいえないのが普通である。つまり、ある主張があったとき、それは正しいか正しくないかのどちらかであり、それは証明できるというのがごく普通の考え方でした。その当たり前を覆すのが、不完全性定理というものです。

数学はおもろい!

実は僕は大学時代は数学科に所属していました。が、ほとんど学校もいかず、代返と土下座だけで単位を取ってきたのでまったく勉強をしていませんでした。なので高校ぶりにちゃんと数学的な考え方に触れて、それがかなりおもしろくてこの記事を書いてしまいました。数学の知識がなくてもサクッと読めるので、内容を見て少しでも面白そうだな、と思った方はぜひ読んでみてください(Amazonの評価はあんまりよくないですがw)